Cours de maths 3eme

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Cours de maths 3eme

Cours sur le calcul littéral et les équations

Factoriser une expression littérale

Factoriser une expression littérale

Qu'est ce que factoriser ?
Factoriser une expression c'est la faire passer d'une écriture sous forme de sommes ( et eventuellement de différences ) à une écriture sous forme de produits.

Utiliser la distributivité pour factoriser
Il est nécessaire dans ce cas de chercher des éléments qui sont présent dans tous les termes de la somme que l'on cherche à factoriser. Un tel terme est appelé facteur commun.
Exemple 1
Dans l'expression 2x + 5x² on remarque que les deux termes de la somme comporte x qui est donc un facteur commun.
2x + 5x² = x ( 2 + 5x )
On peut vérifier qu'en développant par distributivité on retrouve l'expression initiale.
Exemple 2
Dans l'expression 2( 3x + 1) + (2 + x)(3x + 1) c'est (3x + 1) que l'on retrouve dans les deux termes de la somme.
On peut donc l'utiliser comme facteur commun:
2( 3x + 1) + (2 + x)(3x + 1) = (3x + 1)[ 2 + (2 + x)]
                                        = (3x + 1)(4 + x)

Utiliser les identités remarquables pour factoriser
Les trois identités remarquables utilisés pour développer des expressions littérale peuvent également être utilisées pour factoriser à condition d'inverser les membres des égalités:
Identité 1:  a² + 2ab + b² = ( a + b )²
Identité 2:  a² - 2ab + b² = ( a - b )²      
Identité 3:  a² - b² = ( a + b )( a - b )
Exemple 1:
On a l'expression 36 + 12x + x² que l'on peu écrire sous la forme 6² + 2x6xx + x² on retrouve donc la forme a² + 2ab + b² présente dans l'identité n°1 avec a correspondant à 6 et b correspondant à x on peut donc écrire:
6² + 2x6xx + x² = ( 6 + x )² ce qui correspond bien à une factorisation puisque  ( 6 + x )² = ( 6 + x ) ( 6 + x ) 
Exemple 2
 ( 2 + x )² - 25 peut s'écrire ( 2 + x )² - 5² qui correspond à une forme de type a² - b² . On peut donc utiliser la 3eme identité remarquable avec a correspondant à ( 2 + x ) et b correspondant à 5.
On obtient donc:( 2 + x )² - 25 = [ ( 2 + x ) + 5 ] [ ( 2 + x ) - 5 ]            
                                             = ( 2 + x + 5 ) ( 2 + x -5 )
                                             =  ( x + 7 ) ( x - 3 )