Cours de maths 3eme

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Cours de maths 3eme

Cours sur les systèmes d'équations

Résolution d'un système d'équations par substitution

Résolution d'un système d'équations par substitution

Equation à deux inconnues
On dit qu'une équation a deux inconnues si elle comporte deux grandeurs variables représentées par des lettres. Les inconnues sont en général représentées par x et y.
Exemple:
4x + 3y = 2 est une équation à deux inconnues.
Une équation à deux inconnue ne peut être résolue complètement, il existe différents couple de valeurs qui sont solutions.
Il n'est possible de trouver un couple unique de valeurs x et y solution de cette équation que si elle est accompagnée d'une deuxième équation.
Ces deux équations forment alors un système qui n'admet qu'une solution pour la valeur de x et une solution pour la valeur de y.

Méthode pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues par substitution
La méthode de résolution par addition comporte plusieurs étapes et s'applique plus facilement lorsque dans l'une des équations le coefficient d'une des inconnues est 1.
Dans un premier on repère l'équation qui comporte une inconnue dont le coefficient est 1 (on admet qu'il s'agit de x par exemple). Dans cette équation on exprime x en fonction de y.
On remplace ensuite, dans l'autre équation, x par l'expression obtenue en fonction de y afin d'obtenir une équation avec une seule inconnue ( y ).
Cette équation peut être alors résolue pour en tirer la valeur de y.
On choisie en suite l'une des deux équation où l'on remplace y par la valeur trouvée afin qu'il ne reste qu'une seule inconnue ( x ) que l'on peut trouver.
Exemple:
x + 3y = 12 ( équation 1 )
2x + 4y = 16 ( équation 2 )
On utilise l'équation 1 pour exprimer x en fonction de y:
x = 12 - 3y
Cette expression est utilisée dans l'équation 2 pour remplacer x:
2( 12 - 3y ) + 4y = 16
24 - 6y + 4y = 16
-2y = 16 - 24
-2y = -8
donc y = 4
On remplace y par sa valeur dans l'équation 1:
x + 3x4 = 12
x +12 = 12
x = 12 - 12
x = 0
Les solutions de ce sytème d'équation sont donc x = 0 et y = 4