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Les ensembles de nombres

Les ensembles de nombres

Quand on fait des mathématiques on est amené à utiliser différentes sortes de nombres qui peuvent être classés par ensembles ou groupes. Chaque ensemble possède des carastéristiques qui lui sont propres et dont la connaissance permet de d'utiliser leur nombres plus facilement.

Traditionnellement on distingue les ensembles suivants:

 - L'ensemble des nombres entiers naturels
Il est noté avec la lettre: N
Cet ensemble regroupe tous les nombres qui s'écrivent avec un ou plusieurs chiffres et qui ne comportent ni signe, ni virgule ni autre notation mathématique.
L'ensemble des entiers naturels est constitué des nombres 0; 1; 2; 3; 4; 5 ...
Cet ensemble comporte un nombre infini de nombres puisque qu'à chaque fois qu'on ajoute 1 à l'un d'entre eux on obtient un nombre qui est aussi un entier naturel.

- L'ensemble des nombres entiers relatifs
Il est noté avec la lettre Z
Cet ensemble regroupe tous les nombres entiers naturels ainsi que leurs opposés qui sont notés avec le signe moins ( - ).
L'ensemble des entiers naturels comprend donc les nombres ...  -5; -4; -3; -2; -1, 0; 1; 2; 3 ; 4; 5 ...
On distingue donc les entiers relatifs positifs ( qui corresponde aux entiers naturels ) et les entier relatifs négatifs.
Voir fiche de cours: les nombres relatifs

- L'ensemble des nombres décimaux
Il est noté avec la lettre D
Cet ensemble regroupe tous les entiers relatifs ainsi que tous les nombres ( positifs ou négatifs ) qui peuvent s'écrire avec une virgule et qui comportent un nombre fini ( c'est à dire qui n'est pas infini ) de chiffres après cette virgule.
L'ensemble des entiers naturels est constitué, entre des nombres ...  -5,2; -4,0006; -3,4; -2; -1,3; 0; 2,55654; 3,2; 4; 5,5 ...
Voir fiche de cours: écriture décimale d'un nombre

- L'ensemble des nombres rationnels
Il est noté avec la lettre Q
Cet ensemble comporte tous les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction. Il engloble l'ensemble des décimaux ( par exemple 5,2 peut sécire  52  ou 2,05 peut s'écire 205  etc )
                                          10                               100
L'ensemble des nombres décimaux comporte par exemple les nombre suivants:  - 5 ;  - 3 ;  -1 ; 0  ;  5  ; 10  ;  100  etc
                                                                                                                       2      3     2  12    3     1        3
Voir fiche de cours: écriture fractionnaire d'un nombre décimale

- L'ensemble des nombres réels
Il est noté avec la lettre R
Cet ensemble regroupe tous les nombre rationnels ainsi que tous les autres nombres. On y trouve par exemple des racines carrées ( racines carrées de 2, de 3 etc ) ou le nombre pi.
Voir aussi fiche de cours: définition et propriété des racines carrées

- L'ensemble des nombres  complexes
Il est noté avec la lettre C
Dans cet ensemble, défini au lycée, chaque nombre s'écrit comme un combinaison d'un nombre réel a et d'un nombre correspondant au produit d'un deuxième réel par un le nombre imaginaire unité i.
Ainsi un nombre imaginaire x a pour forme x = a + bi
Le nombre imaginaire i est défini comme le nombre dont le carré est - 1 ( ce qui est impossible dans l'ensemble des réels ! )

Chacun des ensembles sont inclus dans le suivant: N est inclus dans Z qui est inclus dans D qui est lui même inclus dans R

Remarque: Il est aussi possible de définir d'autres groupe comme ceux des nombres pairs, des nombres impairs, des nombres premiers etc